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Heuristic function

2014-11-07T19:24:33Z

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Gasoline

2014-03-01T22:02:07Z

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Methanol (data page)

2014-01-26T02:16:18Z

65.92.5.161:

{{distinguish|Inner product}}
In [[mathematics]], the '''interior product''' is a [[graded algebra|degree]] −1 [[antiderivation]] on the [[exterior algebra]] of [[differential form]]s on a [[smooth manifold]]. The interior product, named in opposition to the [[exterior product]], is also called interior or inner multiplication, or the inner derivative or derivation, but should not be confused with an [[inner product]]. The interior product ''ι''''X''''ω'' is sometimes written as ''X'' {{Unicode|⨼}} ''ω''; this character is U+2A3C in [[Unicode]].

==Definition==

The interior product is defined to be the [[tensor contraction|contraction]] of a [[differential form]] with a [[vector field]]. Thus if ''X'' is a vector field on the [[manifold]] ''M'', then
:<math>\iota_X\colon \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M)</math>
is the [[Map (mathematics)|map]] which sends a ''p''-form ''ω'' to the (''p''−1)-form ''ι''''X''''ω'' defined by the property that
:<math>( \iota_X\omega )(X_1,\ldots,X_{p-1})=\omega(X,X_1,\ldots,X_{p-1})</math>
for any vector fields ''X''1,..., ''X''''p''−1.

The interior product is the unique [[derivation (algebra)|antiderivation]] of degree −1 on the [[exterior algebra]] such that on one-forms ''α''
:<math>\displaystyle\iota_X \alpha = \alpha(X) = \langle \alpha,X \rangle</math>,
the duality pairing between ''α'' and the vector ''X''. Explicitly, if ''β'' is a ''p''-form and γ is a ''q''-form, then
:<math> \iota_X(\beta\wedge\gamma) = (\iota_X\beta)\wedge\gamma+(-1)^p\beta\wedge(\iota_X\gamma). </math>
The above relation says that the interior product obeys a graded [[Product rule|Leibniz rule]]. An operation equipped with linearity and a Leibniz rule is often called a derivative. The interior product is also known as the interior derivative.

==Properties==
By antisymmetry of forms,

:<math> \iota_X \iota_Y \omega = - \iota_Y \iota_X^{ } \omega </math>

and so <math> \iota_X^2 = 0 </math>. This may be compared to the [[exterior derivative]] ''d'' which has the property ''d''2 = 0. The interior product relates the [[exterior derivative]] and [[Lie derivative]] of differential forms by '''''Cartan's identity''''':
:<math> \mathcal L_X\omega = \mathrm d (\iota_X \omega) + \iota_X \mathrm d\omega. </math>
This identity defines a duality between the exterior and interior derivatives. Cartan's identity is important in [[symplectic geometry]] and [[general relativity]]: see [[moment map]].
The interior product with respect to the commutator of two vector fields <math>X,Y</math> satisfies the identity

:<math> \iota_{[X,Y]}=\mathcal L_X \iota_Y-\iota_Y \mathcal L_X. </math>

==See also==
* [[Inner product]]
* [[Tensor contraction]]

{{DEFAULTSORT:Interior Product}}
[[Category:Differential forms]]
[[Category:Multilinear algebra]]

{{differential-geometry-stub}}

Template:WikiProject Contemporary Art

2013-04-02T05:32:17Z

65.92.180.137: mark inactive

38 yr old Paediatrician James Golden from Wingham, likes to spend time backgammon, property developers in singapore and tombstone rubbing. Plans to give up work and take the family to a lot of the noteworthy heritage listed locales on the globe like Pyrénées - Mont Perdu. My web-site - [http://avonoren.com/?option=com_k2&view=itemlist&task=user&id=68670 avonoren.com]

Template:NHL-cat

2013-03-27T15:48:31Z

65.92.180.137:

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Schumann resonances

2012-08-25T05:04:36Z

65.92.7.148: /* Description */ Removing pseudoscientific claims from a spurious source

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